複素関数は不思議な感じがする - 技術系サラリーマン勉強記

少しずつ複素関数の勉強をしています。複素変数の指数関数の定義は納得がいくのですが、複素変数の三角関数の定義は不思議な感じがします。ピンとこないというか。

例えば $\theta$ を実数とすると、 $\cos\theta$ は、

$\begin{align} \cos \theta = \frac{1}{2} (\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta} ) \end{align}$

と表せるので $\theta$ を複素数 $z$ に拡張して、 $\cos z$ を、

$\begin{align} \cos z = \frac{1}{2} (\mathrm{e}^{iz} + \mathrm{e}^{-iz} ) \end{align}$

と定義する、としていますが、なんか $iz$ という虚数×複素数というのが違和感を覚えます。まあ自然な定義でしょうか。

後、複素変数の三角関数の双曲線関数の関係が本に色々載っていましたが、三角関数と双曲線関数が似たような式で表現できていて不思議な感じがしました。何でこうなってのかなともやもやします。

参考文献