前回は1変数関数の微分に関する記事を書きました。今回は2変数以上の関数の微分である全微分（total differential）について書きます。
全微分は、「各独立変数が微小量変換した際の従属変数の変化分」を表したものです。
全微分は多変数関数の近似値の導出であったり、合成関数の導関数を導出する際に役立つなあと感じます。
定義
2変数関数
を例に考える。
関数の全微分
は以下のように定義される。
$$
dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy
$$
ただし、独立変数
, 
の微分
, 
は、任意の増分
, 
とする。すなわち、
$$
dx = \Delta x, dy= \Delta y
$$
である。
多変数関数 
の場合も同様に以下のように定義される。
$$
dz = f_{x_1}dx_1 + f_{x_2}dx_2 + \cdots + f_{x_n}dx_n
$$
全微分 と全増分 
の違い
独立変数の変化分が十分に小さい場合、全微分は全増分の良い近似値を与えます。
大学時代は、全微分と全増分の違いについてピンときていなかったのですが、参考文献に分かりやすい例があったので紹介します。
[例] 関数
の全微分と全増分
の差
定義式より、
$$
\begin{align}
dz &= f_xdx + f_ydy \\
&= ydx + xdy
\end{align}
$$
一方、との増分をそれぞれ、
$$
\Delta x = dx, \Delta y = dy
$$
とすると、全増分は、
$$
\begin{align}
\Delta z &= (x + \Delta x)(y + \Delta y) - xy \\
&= x\Delta y + y \Delta x + \Delta x \Delta x \\
&= xdy + ydx + dxdy
\end{align}
$$
となる。したがって、全増分
と全微分の違いは、
$$
\Delta x \Delta y = dxdy
$$
である。下図に全微分と全増分の違いを示します。
, 
が十分に小さいと、上式の左辺
は0に近づくので、
となります。すなわち、全微分は全増分の良い近似値を与えます。下図でも、, が小さくなってくると、
や
に比べ の範囲がかなり小さくなってくることがイメージできます。
全微分の定義式の導出
理解を深めるため全微分の定義式の導出の流れを記します。2変数関数
の場合です。
xの増分を, yの増分を 
に 対する全増分をとする。すなわち、
$$
\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)
$$
と表される。上式を変形する。
$$
\Delta z = { f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y+\Delta y) }+ { f(x,y+\Delta y) - f(x,y) }
$$
平均値の定理より、
$$
\begin{align}
\Delta z = f_x(x+\theta_1 \Delta x, y+\Delta y)\Delta x + f_y(x, y+\theta_2 \Delta y)\Delta y \tag{1}
\end{align}
$$
となる。ただし、定数
, 
は以下をみたす。
$$
0 < \theta_1 < 1, 0 < \theta_2 < 1
$$
偏導関数 
, 
が連続であれば、
$$
\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\epsilon_1 = 0, \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\epsilon_2 = 0
$$
をみたす変数 
, 
を用いると、
$$
\begin{align}
f_x(x+\theta_1\Delta x, y+\Delta y) &= f_x(x,y) + \epsilon_1 \tag{2} \\
f_y(x, y+\theta_2 \Delta y) &= f_y(x,y) + \epsilon_2 \tag{3}
\end{align}
$$
となる。したがって、 とが十分小さければ、式1~3より、
$$
\Delta z = f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y + (\epsilon_1\Delta x+ \epsilon_2 \Delta y)
$$
極限をとると、全微分が導出される。
$$
\begin{align}
dz &= \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\Delta z \\
&= f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy
\end{align}
$$
参考文献
基本的にこの本を見て勉強しています。全般的に丁寧に説明されており分かりやすいです。
